EP4 : Utilisation de l’inégalité de Bienaymé Tchebecheff + Test QCM

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Lorsqu’on prélève un échantillon pour estimer un paramètre, on court toujours le risque de découvrir un peu trop tard que l’échantillon prélevé est trop petit ou, au contraire, trop grand. S’il est trop grand, il est plus précis est donc plus couteux que nécessaire. Et s’il est trop petit, il est moins précis. Nous discutons donc ici quelques façons d’estimer avant l’échantillonnage la taille minimale de l’échantillon qui fournit la précision voulue.

Ainsi cette représentativité quantitative qui est la détermination de la taille d’échantillon dépend essentiellement de deux facteurs:

  • La précision souhaitée : plus on souhaite des résultats précis, plus l’échantillon nécessaire est important ( rappelons ici la loi des grands nombres).
  • Le budget disponible : plus on augmente la taille, plus le coût de l’enquête s’accroît.

La taille de l’échantillon “n” doit être celle qui permet d’atteindre le meilleur compromis entre le risque de commettre des erreurs d’échantillonnage, le coût induit par ces erreurs et le coût de l’échantillonnage lui-même.

Ainsi nous pouvons annoncer que le fondement théorique des sondages aléatoires est la fameuse loi du grand nombre, basé sur l’inégalité de Bienaymé Tchebycheff (IBT).

Cette loi du grand nombre nous permet de dire que plus la taille de l’échantillon (son effectif) est grande plus les caractéristiques de ce dernier se rapprochent de ceux de la population.

Afin de déterminer la taille de l’échantillon, nous utiliserons l’inégalité de Bienaymé Tchebycheff ou la loi normale.

Dans la vidéo ci-dessous on va s’intéresser à la détermination de la taille de l’échantillon en utilisant l’inégalité de Bienaymé Tchebycheff (IBT).

1)-Inégalité de Bienaymé Tchebycheff:

Cette inégalité donne un moyen d’évaluer la distance entre les valeurs prises par une variable aléatoire X et son espérance.

Enoncé de l’inégalité:

Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé et qui admet une espérance E(X) et une variance σ2, on a:

P(|X – E(X)| ≤ tσ ) ≥ 1-1/t2

Cette inégalité n’est utilisée que si la loi de la variable aléatoire est complètement inconnue. Elle permet de déterminer la taille de l’échantillon lors d’estimation de la moyenne et de la proportion.

  • La taille de l’échantillon minimale pour estimer une moyenne:

  • La taille de l’échantillon minimale pour estimer une proportion:

NB : Afin de bien maîtriser le contenu de cette vidéo vous aurez un lien (sous la vidéo) d’un test de connaissances sous forme de QCM (questions à choix multiples)

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